Tugas Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

Persamaan Kuadrat dan Fungsi  Kuadrat

A.      Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

ax² + bx + c = 0 , a ¹ 0                   a, b dan c adalah bilangan real.

1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

a)       memfaktorkan,

b)       melengkapkan kuadrat sempurna,

c)       menggunakan rumus.

        A. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax² + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x₁) (x – x₂) = 0.

Nilai x₁ dan x₂ disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

Contoh 1 :

Selesaikan x² – 4 x + 3 = 0

Jawab:    x² – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0

x = 3   atau    x = 1

Jadi, penyelesaian dari x² – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)² = x – 2.

Jawab:     

    (x – 2)² = x – 2

x² – 4 x + 4 =  x – 2

x² – 5 x + 6 = 0

(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0   atau   x – 2 = 0

x = 3   atau          x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.

b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)² = q.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 6 x + 5 = 0.

Jawab:   x² – 6 x + 5 = 0

x² – 6 x + 9 – 4 = 0

x² – 6 x + 9 = 4

(x – 3)² = 4

x – 3 = 2  atau x – 3 = –2

x = 5    atau     x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

          c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus abc

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x² + b x + c = 0 adalah

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 7x – 30 = 0.

Jawab:   x² + 7x – 30 = 0

a = 1  ,  b = 7  ,  c = – 30

x = 3   atau   x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}

B. Jenis jenis persamaan kuadrat

1.      Menentukan nilai diskriminan dari suatu persamaan kuadrat

Dari penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus abc yaitu :

x₁,₂ =

Besaran (b²-4ac) dari rumus diatas sangat menentukan jenis dan banyaknya akar persamaan kuadrat. Karena besaran ini dapat membedakan (mendiskriminasikan) jenis akar-akar suatu persamaan kuadrat, maka besaran ini disebut juga dengan Diskriminan (pembeda) dengan simbol D

Dari peryataan diatas dapat disimpulkan Diskriminan dari akar-akar persamaan kuadrat dapat dituliskan dengan :

D = b²-4ac

Contoh :

Tentukan nilai diskriminan dari persamaan kuadrat berikut :

a.       2x² - 2x + 4 = 0

b.      x² +4x – 5 = 0

c.       4x² - 12x + 9 = 0

Penyelesaian :

a.       2x² - 2x + 4 = 0

a= 2,b= -2, c= 4

D=b²-4c

D=(-2)²-4.2.4

               =4 – 24

   = -20

b.      x² +4x – 5 = 0

a= 1,b= 4, c= -5

D=b²-4c

D=4²-4.1.(-5)

=16 + 20 =36

   

c.       4x² - 12x + 9 = 0

a= 4,b= -12, c= 9

D=b²-4c

D=(-12)²-4.4.9

   =144 – 144

   = 0

2.      Menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat dari nilai diskriminan.

       Berdasarkan nilai diskriminannya, jenis-jenis akar persamaan kuadrat dapat dibedakan menjadi :

a.       Jika nilai D>0 maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang berbeda.

1)      Untuk nilai D = b²-4ac berbentuk kuadrat kuadrat sempurna

( D=k² dengan k∈ rasional) maka kedua akar persamaan berikut tersebut adalah rasional.

2)      Untuk nilai D = b²-4ac berbentuk bukan merupakan kuadrat sempurna, maka kedua akar tersebut adalah irrasional.

b.      Jika nilai D=0 maka persamaan kuadrat memiliki dua akar riil yang sama.

c.       Jika D<0 maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar riil atau akar-akarnya merupakan bilangan imajiner.

Contoh :

Tanpa menyelesaiakan persamaan kuadrat terlebih dahulu , tentukan jenis-jenis akar persamaan berikut ini.

a.       2x² - x- 3 = 0

b.      3x² + 5x + 1 = 0

c.       x² - 10x + 25 = 0

d.      4x² - 2x + 2 = 0

Penyelesaian :

a.      2x² - x- 3 = 0

a= 2,b= -1, c= -3

D=b²-4c

D=(-1)²-4.2.(-3)

   =1 + 24

   = 25 (merupakan bentuk kuadrat sempurna)

D>0, maka akar persamaan kuadrat tersebut nyata (riil) berlainan dan rasional

b.      3x² + 5x + 1 = 0

a= 3,b= 5, c= 1

D=b²-4c

D=(5)²-4.3.1

   =25 - 12

   = 13 ( bukan merupakan bentuk kuadrat sempurna)

D>0, maka akar persamaan kuadrat tersebut nyata (riil) berlainan dan irrasional

c.       x² - 10x + 25 = 0

a= 1,b= -10, c= 25

D=b²-4c

D=(-10)²-4.1.25

   =100 - 100

   = 0

D=0, maka akar persamaan kuadrat tersebut nyata dan sama

d.      4x² - 2x + 2 = 0

a= 4,b= -2, c= 2

D=b²-4c

D=(-2)²-4.4.2

   =4 - 32

   = -28

D<0, maka akar persamaan kuadrat tersebut imajiner (tidak nyata)

  C. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

            Pada kegiatan 1 Anda telah mempelajari bahwa akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, dimana a, b, c R dan a 0 dapat ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus abc sebagai berikut:

 x1 =  atau x2 = 

Dari rumus di atas, kita dapat menentukan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 yang dinyatakan dalam koefisien-koefisien a, b, dan c.

a)	Jumlah akar-akar persamaan kuadrat. x1 + x2 =  +  x1 + x2 =  x1 + x2 =  x1 + x2 =

b)	Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. x1 . x2 =  .  x1 + x2 =  x1 + x2 =  x1 + x2 =  x1 + x2 =

Dari hasil perhitungan di atas, maka diperoleh sifat sebagai berikut:

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 maka jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus:

x1 + x2 =  dan x1 . x2 =

Contoh 1:

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x – 3x + 2 = 0, maka tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dulu, hitunglah:

a.  x1 + x2

b.  x1 . x2

c.  x1 + x2

d.   + 

Jawab:

x – 3x +2 = 0, berarti a = 1, b = -3, dan c = 2.

a.	x1 + x2 =  =  = = 3
b.	x1 . x2 =  = = 2
c.	Untuk menghitung nilai x1 + x2 kita harus mencarinya terlebih dulu sebagai berikut: (x1 + x2) (x1 + x2) - 2x1.x2 atau x1 + x2 = x1 + 2x1.x2 + x2 = x1 + x2 = (x1 + x2) - 2x1.x2 =  =  = (-4) - 6 = 16 - 6 = 10
d.	Untuk menghitung nilai  +  kita harus menyamakan penyebutnya terlebih dulu sebagai berikut:
	+	= =  = =  = =

Contoh 2:

Akar-akar persamaan kuadrat 2x +5x – 6 = 0 adalah p dan q. Tanpa harus menyelesaikan persamaanya terlebih dulu, hitunglah nilai:
a.  p + q
b.  p . q
c.  p + q

d.  

e.  (p – q)

Jawab:

2x + 5x – 6 = 0, berarti a = 2, b = 5, dan c = -6.

a.  p + q = -5/2 = -2

b.  p . q = -6/2 = -3

c.  Dari jawaban soal nomer 1 bagian c telah Anda ketahui bahwa:

x1 + x2 p + q

= (x1 + x2) - 2x1.x2 = (p + q) – 2pq =  =  = = =  = 12

d.  (disamakan penyebutnya)

= =  = =  = =

e. (p-q) = p – 2pq +q

= p + q – 2pq

karena p + q (p – q)

= (p + q) – 2pq, maka: = (p + q) – 2pq – 2pq = (p + q) – 4pq =  =  =  + 12 = 18

                   Fungsi Kuadrat

1. Pengertian

     Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax² + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan  disebut fungsi kuadrat.

Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap² + bp + c.

Contoh 1:

Ditentukan: f(x) = x² – 6x – 7

Ditanyakan:

1. nilai pembuat nol fungsi f
2. nilai f untuk x = 0 , x = –2

Jawab:

1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x² – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7  atau  x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1

1. Untuk  x = 0   maka f(0) = –7

x = –2  maka f(–2) = (–2)² – 6 (–2) – 7 = 9

Contoh 2:

Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x² + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

Jawab :

Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

D = (p – 1)² – 4 . 3 . 3 = 0

p² – 2p – 35 = 0

(p – 7) (p + 5) = 0

p = 7   atau   p = –5

Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.

Periksalah jawaban itu.

2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

      Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:

1)       f(x) = x² – 2x – 3

= x² – 2x + 1 – 4

=(x – 1)² – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)² mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)² – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

Jadi, f(x) = x² – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

2)       f(x) = –x² + 4x + 5

= –x² + 4x – 4 + 9

= –(x² – 4x + 4) + 9

= –(x – 2)² + 9

Nilai terbesar dari – (x – 2)² sama dengan nol untul x = 2.

Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)² + 9 adalah 0 + 9 = 9.

Jadi, f(x) = –(x – 2)² + 9 atau f(x) = –x² + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.

Sekarang perhatikan bentuk umum  f(x) = ax² + bx + c

Dengan uraian di atas, diperoleh:

Fungsi kuadrat f(x) = a x² + b x + c

Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk

Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk

Contoh:

Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x² + 4x + 7

Jawab:

f(x) = 2x² + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7

Nilai minimum fungsi f =5

Contoh:
Buatlah sketsa grafik y = x² – 2x – 3  untuk x e R.
Jawab:
Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
x = 3   dan  x = –1
Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(–1 , 0)
Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0
y = 0 – 0 – 3 = – 3
Koordinat titik potongnya C(0 , –3)
Sumbu simetri, garis
Titik puncak  ® D(1 , –4)
Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik  fungsi
y = x³ – 2x – 3.
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x² + 6x.

Cara menyelesaikan fungsi kuadrat dan grafik nya

           Langkah langkah menggambar grafik y = ax² + bx +c adalah sebagai berikut :

1. Titik potong sumbu x, y = 0

2. Titik potong sumbu y, x = 0

3. Persamaan sumbu simetri -b/2a

4. Menentukan nilai maksimum dan minimum b²– 4ac/-4a

5. Koordinat titik puncak (ekstrim) {(-b/2a),(b²– 4ac/-4a)}

=> Apabila dari langkah 1 – 5 belum terbentuk sketsa parabola maka ambillah titik bantu yaitu nilai x di sekitar persamaan sumbu simetri. 

Contoh Soal :

1. Gambarlah graik fungsi kuadrat y = x² – 4x – 5

    Jawaban : 

    a. Titik potong sumbu x, y = 0.

         y = x² – 4x – 5       =>       0 = (x – 5) (x + 1) , x = -1 , 5

         0 = x² – 4x – 5                   Titik potong sumbu x (-1,0) dan (5,0)

    b. Titik potong sumbu y, x = 0.

         y = x² – 4x – 5    

         y = (0)² – 4(0) – 5

         y = -5

       maka titk potong sumbu y adalah (0,-5)

     Gambar Grafik

 

   

 c. Persamaan sumbu simetri -b/2a

        = -(-4)/2.1

        = 2

    d. Nilai maks/min b²– 4ac /-4a

        = {(-4)² – 4.1.(-5)} / -4(1)

        = 36/-4

        = -9

    e. Titik puncak {(-b/2a),(b²– 4ac/-4a)} 

        = (2,-9)

Menentukan Fungsi Kuadrat
 1. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui 3 buah titik.
    menggunakan  y = ax² + bx +c

    Contoh Soal  :     
    * Tentukan fungsi kuadrat grafiknya mel. 3 buah titik (-1,0), (2,-9) dan (4,-5)

     

Jawaban :

       melalui (-1,0) => y = a(-1)² + b(-1) + c

                                      0 = a – b + c              … persamaan (1)

       melalui (2,-9) => y = a(2)² + b(2) + c

                                     -9 = 4a + 2b + c        … persamaan (2)

       melalui (4,-5) => y = a(4)² + b(4) + c

                                     -5 = 16a + 4b + c     … persamaan (3)

       Dari (1) – (2) => -3a – 3b = 9               … persamaan (4)

       Dari (2) – (3) => -12a – 2b = -4           … persamaan (5)

       Dari (4) x 4   => -12a – 12b = 36        … persamaan (4)

       Dari (5) – (4)’ => 10b = -40

                                          b = -4

       Substitusikan b = -4 ke (4)

                    maka => -3a + 12 = 9

                                              -3a = -3

                                                  a = 1

      Substitusikan a = 1 dan b = -4

                    maka => 1 – (-4) + c = 0

                                               5 + c = 0

                                                      c = -5

      Sehingga fungsi kuadratnya => y = x² – 4x – 5

2. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak diketahui.

    menggunakan y = a(x – p)² + q titik puncak (p,q)
Contoh Soal :
* Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (2,-9)
serta melalui titik (-1,0)
    Jawaban : 
    y = a(x – p)² + q
       = a(x – 2)² – 9
   melalui (-1,0) => y = a(x – 2)² – 9
                                 0 = a(-1 – 2)² – 9
                                 9 = 9a
                                 a = 1
   Jadi, fungsi kuadratnya => y = 1(x – 2)² – 9
                                                       = (x² – 4x + 4) – 9
                                                       = x² – 4x – 5

3. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mmotong sumbu x di titik (p,0) dan (q,0)

    menggunakan y = a(x – p) (x – q)
Contoh Soal :
* Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (-1,0) dan (5,0).
serta melalui (4,-5)
    Jawaban :
    y = a(x – p) (x – q)
       = a{x -(-1)}(x – 5)
       = a(x + 1) (x – 5) 
   kerna melalui (4,-5) maka
   -5 = a(4 + 1) (4 – 5)
   -5 = -5a
    a = 1
   Jadi, fungsi kuadratnya : y = 1(x + 1) (x – 5)
                                                   = x² – 4x – 5