Persamaan
Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
A.
Persamaan Kuadrat
Persamaan
kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax2
+ bx + c = 0 , a ¹
0
a, b dan c adalah bilangan real.
1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat
Persamaan
kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
a)
memfaktorkan,
b)
melengkapkan kuadrat sempurna,
c)
menggunakan rumus.
A. Menyelesaikan persamaan kuadrat
dengan memfaktorkan
ax2 + bx + c =
0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x
– x2) = 0.
Nilai x1
dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x2
– 4 x + 3 = 0
Jawab:
x2 – 4 x + 3 = 0
(x –
3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0
atau x – 1 = 0
x = 3
atau x = 1
Jadi,
penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1
Contoh 2 :
Tentukan
himpunan penyelesaian dari (x – 2)2 = x – 2.
Jawab:
(x – 2)2 = x – 2
x2 – 4 x + 4 = x –
2
x2 – 5 x + 6 = 0
(x –
3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0
atau x – 2 = 0
x = 3
atau x = 2
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.
b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan
kuadrat sempurna
Persamaan
kuadrat ax2 + bx + c = 0
dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2
= q.
Contoh 1:
Tentukan
himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab:
x2 – 6 x + 5 = 0
x2 – 6 x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x –
3)2 = 4
x – 3 = 2 atau x – 3 =
–2
x = 5
atau x = 1
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
c. Menyelesaikan persamaan kuadrat
dengan menggunakan rumus abc
Rumus
penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x +
c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan
himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.
Jawab:
x2 + 7x – 30 = 0
a = 1 , b =
7 , c = – 30
x = 3 atau x
= –10
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}
B. Jenis jenis
persamaan kuadrat
1. Menentukan nilai diskriminan
dari suatu persamaan kuadrat
Dari
penyelesaian persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus abc yaitu :
x₁,₂ = 
Besaran (b²-4ac) dari rumus diatas sangat menentukan
jenis dan banyaknya akar persamaan kuadrat. Karena besaran ini dapat membedakan
(mendiskriminasikan) jenis akar-akar suatu persamaan kuadrat, maka besaran ini
disebut juga dengan Diskriminan (pembeda) dengan simbol D
Dari peryataan diatas dapat disimpulkan Diskriminan
dari akar-akar persamaan kuadrat dapat dituliskan dengan :
D = b²-4ac
Contoh
:
Tentukan
nilai diskriminan dari persamaan kuadrat berikut :
a.
2x² - 2x + 4 = 0
b. x²
+4x – 5 = 0
c.
4x²
- 12x + 9 = 0
Penyelesaian :
a.
2x² - 2x + 4 = 0
a= 2,b= -2, c= 4
D=b²-4c
D=(-2)²-4.2.4
=4 – 24
= -20
b.
x²
+4x – 5 = 0
a= 1,b= 4, c= -5
D=b²-4c
D=4²-4.1.(-5)
=16 + 20 =36
c.
4x²
- 12x + 9 = 0
a= 4,b= -12, c= 9
D=b²-4c
D=(-12)²-4.4.9
=144 – 144
= 0
2. Menentukan jenis akar-akar persamaan
kuadrat dari nilai diskriminan.
Berdasarkan nilai diskriminannya, jenis-jenis akar persamaan kuadrat
dapat dibedakan menjadi :
a.
Jika nilai D>0 maka persamaan
kuadrat mempunyai dua akar riil yang berbeda.
1) Untuk nilai D = b²-4ac berbentuk kuadrat kuadrat sempurna
( D=k² dengan k∈ rasional) maka kedua akar persamaan berikut
tersebut adalah rasional.
2)
Untuk nilai D = b²-4ac berbentuk bukan merupakan kuadrat
sempurna, maka kedua akar tersebut adalah irrasional.
b. Jika
nilai D=0 maka persamaan kuadrat
memiliki dua akar riil yang sama.
c.
Jika D<0 maka persamaan kuadrat
tidak mempunyai akar riil atau akar-akarnya merupakan bilangan imajiner.
Contoh :
Tanpa menyelesaiakan persamaan kuadrat terlebih dahulu
, tentukan jenis-jenis akar persamaan berikut ini.
a.
2x² - x- 3 = 0
b. 3x²
+ 5x + 1 = 0
c.
x²
- 10x + 25 = 0
d. 4x²
-
2x + 2 = 0
Penyelesaian :
a. 2x² - x- 3 = 0
a= 2,b= -1, c= -3
D=b²-4c
D=(-1)²-4.2.(-3)
=1 + 24
= 25 (merupakan bentuk kuadrat sempurna)
D>0, maka akar persamaan kuadrat tersebut nyata (riil) berlainan
dan rasional
b. 3x²
+ 5x + 1 = 0
a= 3,b= 5, c= 1
D=b²-4c
D=(5)²-4.3.1
=25 - 12
= 13 ( bukan merupakan bentuk kuadrat
sempurna)
D>0, maka akar
persamaan kuadrat tersebut nyata (riil) berlainan dan irrasional
c. x²
- 10x + 25 = 0
a= 1,b= -10,
c= 25
D=b²-4c
D=(-10)²-4.1.25
=100 - 100
= 0
D=0, maka
akar persamaan kuadrat tersebut nyata dan sama
d. 4x² - 2x + 2 = 0
a= 4,b= -2,
c= 2
D=b²-4c
D=(-2)²-4.4.2
=4 - 32
= -28
D<0, maka akar persamaan kuadrat tersebut imajiner (tidak nyata)
C. Rumus Jumlah
dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Pada kegiatan 1 Anda telah
mempelajari bahwa akar-akar persamaan kuadrat ax
+ bx + c = 0, dimana a, b, c 
R dan a 
0 dapat ditentukan dengan
menggunakan rumus kuadrat atau rumus abc sebagai berikut:
+ bx + c = 0, dimana a, b, c R dan a 0 dapat ditentukan dengan
menggunakan rumus kuadrat atau rumus abc sebagai berikut:
x1 = 
atau x2 = 
atau x2 =
Dari rumus di atas, kita dapat menentukan rumus jumlah
dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 yang dinyatakan dalam
koefisien-koefisien a, b, dan c.
+ bx + c = 0 yang dinyatakan dalam
koefisien-koefisien a, b, dan c. |
a)
|
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat.
|
|
b)
|
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
|
Dari hasil perhitungan di atas, maka diperoleh sifat
sebagai berikut:
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax
+ bx + c = 0 maka jumlah dan hasil kali
akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus:
+ bx + c = 0 maka jumlah dan hasil kali
akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus: |
x1 + x2 =
 dan x1 . x2 =  |
Contoh 1:
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x – 3x + 2 = 0, maka tanpa harus
menyelesaikan persamaannya terlebih dulu, hitunglah:
– 3x + 2 = 0, maka tanpa harus
menyelesaikan persamaannya terlebih dulu, hitunglah:
a. x1 + x2
b. x1 . x2
c. x1 + x2
+ x2
d. 
+ 
+
Jawab:
x – 3x +2 = 0, berarti a = 1, b =
-3, dan c = 2.
– 3x +2 = 0, berarti a = 1, b =
-3, dan c = 2. |
a.
|
x1 + x2 =
=  =  = 3 |
|||
|
b.
|
x1 . x2 =
=  = 2 |
|||
|
c.
|
Untuk menghitung nilai x1
+ x2 kita harus
mencarinya terlebih dulu sebagai berikut:
|
|||
|
d.
|
Untuk menghitung nilai
+ kita harus menyamakan
penyebutnya terlebih dulu sebagai berikut: |
|||
|
|
+ |
=
 =  =  =  =  =   |
||
Contoh 2:
Akar-akar persamaan kuadrat 2x +5x – 6 = 0 adalah p dan q. Tanpa
harus menyelesaikan persamaanya terlebih dulu, hitunglah nilai:
a. p + q
b. p . q
c. p + q
+5x – 6 = 0 adalah p dan q. Tanpa
harus menyelesaikan persamaanya terlebih dulu, hitunglah nilai: a. p + q
b. p . q
c. p
+ q
d. 
e. (p – q)
Jawab:
2x + 5x – 6 = 0, berarti a = 2, b =
5, dan c = -6.
a. p + q = -5/2 = -2
+ 5x – 6 = 0, berarti a = 2, b =
5, dan c = -6. a. p + q = -5/2 = -2
b. p . q = -6/2 = -3
c. Dari jawaban soal nomer 1 bagian c telah Anda
ketahui bahwa:
|
x1
+ x2p + q |
= (x1 + x2)
- 2x1.x2 = (p + q) – 2pq=  =  =  =  =  = 12  |
d.
(disamakan
penyebutnya)|
|
=
 =  =  =  =  =  |
e. (p-q)
= p – 2pq +q |
= p
+ q – 2pq |
|
karena p
+ q(p – q) |
= (p + q)
– 2pq, maka: = (p + q) – 2pq – 2pq = (p + q) – 4pq = 
=
=
 + 12= 18 |
Fungsi Kuadrat
1.
Pengertian
Fungsi f pada R yang
ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx +
c dengan a, b, dan c bilangan real dan
disebut fungsi kuadrat.
Jika f(x)
= 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx +
c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai
pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi
f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
Contoh 1:
Ditentukan: f(x)
= x2 – 6x – 7
Ditanyakan:
- nilai pembuat nol fungsi f
- nilai f untuk x =
0 , x = –2
Jawab:
- Nilai pembuat nol fungsi f
diperoleh jika f(x) = 0
x2 – 6 x – 7 = 0
(x –
7) (x + 1) = 0
x = 7 atau x = –1
Jadi pembuat
nol fungsi f adalah 7 dan –1
- Untuk x =
0 maka f(0) = –7
x = –2 maka f(–2) = (–2)2
– 6 (–2) – 7 = 9
Contoh 2:
Tentukan
nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x2 + (p
– 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.
Jawab :
Supaya
merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.
D = (p
– 1)2 – 4 . 3 . 3 = 0
p2 – 2p – 35 = 0
(p –
7) (p + 5) = 0
p = 7 atau p
= –5
Jadi, agar
ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p =
7 atau p = –5.
Periksalah
jawaban itu.
2. Nilai
Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat
Untuk menentukan nilai maksimum/minimum
fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:
1)
f(x) = x2 – 2x – 3
= x2
– 2x + 1 – 4
=(x –
1)2 – 4
Bentuk
kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2
mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x
– 1)2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.
Jadi, f(x)
= x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4
untuk x = 1.
2)
f(x) = –x2 + 4x + 5
= –x2
+ 4x – 4 + 9
= –(x2
– 4x + 4) + 9
= –(x
– 2)2 + 9
Nilai
terbesar dari – (x – 2)2 sama dengan nol untul x = 2.
Dengan
demikan nilai terbesar dari – (x – 2)2 + 9 adalah 0 +
9 = 9.
Jadi, f(x)
= –(x – 2)2 + 9 atau f(x) = –x2
+ 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.
Sekarang
perhatikan bentuk umum f(x) = ax2 + bx
+ c
Dengan
uraian di atas, diperoleh:
Fungsi
kuadrat f(x) = a x2 + b x + c
Untuk a
> 0, f mempunyai nilai minimum untuk
Untuk a
< 0, f mempunyai nilai maksimum untuk
Contoh:
Tentukan
nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x + 7
Jawab:
f(x) = 2x2 +
4x + 7 , a = 2 , b = 4 , c
= 7
Nilai
minimum fungsi f =5
Buatlah sketsa grafik y = x2 – 2x – 3 untuk x e R.
Jawab:
Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
x = 3 dan x = –1
Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(–1 , 0)
Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0
y = 0 – 0 – 3 = – 3
Koordinat titik potongnya C(0 , –3)
Sumbu simetri, garis
Titik puncak ® D(1 , –4)
Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik fungsi
y = x3 – 2x – 3.
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x2 + 6x.
Cara menyelesaikan fungsi kuadrat dan grafik nya
Langkah langkah menggambar grafik y = ax2 + bx
+c adalah
sebagai berikut :
1. Titik
potong sumbu x, y = 0
2. Titik
potong sumbu y, x = 0
3.
Persamaan sumbu simetri -b/2a
4.
Menentukan nilai maksimum dan minimum b2– 4ac/-4a
5.
Koordinat titik puncak (ekstrim) {(-b/2a),(b2– 4ac/-4a)}
=>
Apabila dari langkah 1 – 5 belum terbentuk sketsa parabola maka
ambillah titik bantu yaitu nilai x di sekitar persamaan sumbu simetri.
Contoh Soal :
1.
Gambarlah graik fungsi kuadrat y = x2 – 4x – 5
Jawaban :
a. Titik potong sumbu x, y = 0.
y = x2 – 4x –
5 =>
0 = (x – 5) (x + 1) , x = -1 , 5
0 = x2 – 4x –
5
Titik potong sumbu x (-1,0) dan (5,0)
b. Titik potong sumbu y, x = 0.
y =
x2 – 4x – 5
y = (0)2 –
4(0) – 5
y = -5
maka titk potong sumbu y
adalah (0,-5)
Gambar Grafik
c. Persamaan sumbu
simetri -b/2a
= -(-4)/2.1
= 2
d. Nilai maks/min b2– 4ac
/-4a
= {(-4)2 –
4.1.(-5)} / -4(1)
= 36/-4
= -9
e. Titik puncak {(-b/2a),(b2–
4ac/-4a)}
= (2,-9)
Menentukan Fungsi Kuadrat
1. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui 3 buah titik.
menggunakan y = ax2 + bx +c
1. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui 3 buah titik.
menggunakan y = ax2 + bx +c
Contoh Soal :
* Tentukan fungsi kuadrat grafiknya mel. 3 buah titik (-1,0), (2,-9) dan (4,-5)
* Tentukan fungsi kuadrat grafiknya mel. 3 buah titik (-1,0), (2,-9) dan (4,-5)
Jawaban :
melalui (-1,0) => y = a(-1)2 +
b(-1) + c
0 = a – b +
c
… persamaan (1)
melalui (2,-9) => y = a(2)2 +
b(2) + c
-9
= 4a + 2b + c … persamaan (2)
melalui (4,-5) => y = a(4)2 +
b(4) + c
-5 = 16a + 4b + c … persamaan (3)
Dari (1) – (2) => -3a – 3b
= 9 … persamaan (4)
Dari (2) – (3) =>
-12a – 2b = -4 …
persamaan (5)
Dari (4) x
4 => -12a – 12b = 36 …
persamaan (4)
Dari (5) – (4)’
=> 10b = -40
b = -4
Substitusikan b = -4
ke (4)
maka => -3a + 12 = 9
-3a = -3
a = 1
Substitusikan a = 1 dan b
= -4
maka => 1 – (-4) + c = 0
5 + c = 0
c = -5
Sehingga fungsi kuadratnya
=> y = x2 – 4x – 5
2. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak
diketahui.
menggunakan y = a(x – p)2 +
q titik puncak (p,q)Contoh Soal :
* Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (2,-9)
serta melalui titik (-1,0)
Jawaban :
y = a(x – p)2 + q
= a(x – 2)2 – 9
melalui (-1,0) => y = a(x – 2)2 – 9
0 = a(-1 – 2)2 – 9
9 = 9a
a = 1
Jadi, fungsi kuadratnya => y = 1(x – 2)2 – 9
= (x2 – 4x + 4) – 9
= x2 – 4x – 5
3. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mmotong sumbu x
di titik (p,0) dan (q,0)
menggunakan y = a(x – p) (x – q)
Contoh Soal :
* Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (-1,0) dan (5,0).
serta melalui (4,-5)
Jawaban :
y = a(x – p) (x – q)
= a{x -(-1)}(x – 5)
= a(x + 1) (x – 5)
kerna melalui (4,-5) maka
-5 = a(4 + 1) (4 – 5)
-5 = -5a
a = 1
Jadi, fungsi kuadratnya : y = 1(x + 1) (x – 5)
= x2 – 4x – 5
No comments:
Post a Comment